• 标量衍射的角谱理论
• 衍射的角谱理论

理论

• 初始平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一平面波分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。
• 初始平面(x_0, y_0)的光场分布分别为U_0(x_0, y_0)，而观察平面上的场分布为U(x, y)，则它们相应的角谱为A_0\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda}\right)和A\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda}\right)。
  \begin{aligned} &U_0(x_0, y_0) \\&= \iint A_0\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda} \right)\exp\left[j 2\pi\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}x_0 + \frac{\cos\beta} {\lambda}y_0\right)\right]d\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}\right)d\left(\frac{\cos\beta}{\lambda}\right)\\ &U(x, y) \\&= \iint A\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda} \right)\exp\left[j 2\pi\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}x + \frac{\cos\beta} {\lambda}y\right)\right]d\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}\right)d\left(\frac{\cos\beta}{\lambda}\right)\\ \end{aligned}
  假如能够找到A_0\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda}\right)和A\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda}\right)之间的关系，就能够知道每一平面波分量在传播过程中振幅和相位发生的变化，自然也就可以确定整个光场由初始平面传播到观察平面所发生的变化。
• 假设初始平面中空间频率为\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda}\right)的成分为:
  A_0\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda} \right)\exp\left[j 2\pi\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}x + \frac{\cos\beta} {\lambda}y\right)\right]d\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}\right)d\left(\frac{\cos\beta}{\lambda}\right),
  当它到达观察平面(x, y; z)时，其复振幅将变为：
  A_0\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda} \right)\exp\left[j 2\pi\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}x + \frac{\cos\beta} {\lambda}y+\frac{\cos\gamma}{\lambda}z\right)\right]d\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}\right)d\left(\frac{\cos\beta}{\lambda}\right),
  又由于\cos\alpha^2+\cos\beta^2+\cos\gamma^2=1，则上式可变为
  A_0\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda} \right)\exp\left(jkz\sqrt{1-\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\right)\exp\left[j 2\pi\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}x + \frac{\cos\beta} {\lambda}y\right)\right]d\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}\right)d\left(\frac{\cos\beta}{\lambda}\right)，
  其中，k = 2\pi/\lambda。
  因此，
  A\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda}\right) = A_0\left(\frac{\cos\alpha}{\lambda}, \frac{\cos\beta}{\lambda} \right)\exp\left(jkz\sqrt{1-\cos^2\alpha - \cos^2\beta}\right)
• 上述公式的成立条件是\cos^2\alpha + \cos^2\beta < 1，此时角谱关系式才真正对应于空间某一确定方向传播的平面波。平面波在空间中传播时仅仅引入相移，不会改变空间光传播方向，也不会改变振幅。
  当\cos^2\alpha + \cos^2\beta > 1时，角谱将随z的增大指数级衰减，在几个波长的距离内几乎衰减为0，此种类型的波动分量称为倏逝波。在满足标量衍射理论近似条件情况下，倏逝波总是忽略不计的。
  当\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1时，波动分量的传播方向垂直于z轴，它在z轴方向的净能流量为零。
• 由于角谱传播过程可看作一个线性空不变系统，因此可以求得其输入与输出之间的传递函数。
  H(f_x, f_y) = \frac{A(f_x, f_y)}{A_0(f_x, f_y)} = \left\{ \begin{array} {lll} \exp\left[jkz\sqrt{1-(\lambda f_x)^2 - (\lambda f_y)^2}\right] & & f_x^2+f_y^2<\frac{1} {\lambda^2}, \\ 0 & & \text{otherwise} \end{array}\right.
  f_x = \cos\alpha/\lambda
  这表明该系统的传递函数相当于一个低通滤波器，截止频率为\frac{1}{\lambda}，在频率平面上，这个滤波器的半径为\frac{1}{\lambda}的圆孔。
  对于空间频率高于\frac{1}{\lambda}的信息，在单色平面波照明下不能沿z方向向前传播。
• 角谱关系式也可以通过[[亥姆霍兹方程]]求出。
  上式物理意义为：通过z=0平面上光场的角谱可以求出观察平面上的角谱，然后通过傅里叶逆变换求出观察面上的复振幅分布。此式具有与[[基尔霍夫衍射]]公式同等的价值。
• 由标量衍射理论知，相干光场在两个平面间的传播过程等效为通过一个二维线性系统，即二维线性空不变系统。函数\exp\left[i 2\pi (f_x x + f_y y) \right]是二维线性空不变系统的本征函数，其表示振幅为1的平面波在(x, y)平面上形成的复振幅分布。
• 单色平面波与本征函数之间的这种联系不是偶然的。单色平面波在自由空间中传播一段距离后，只是相位改变一定数值，而无其他变化，即相当于乘上一个复常数，这恰好就是本征函数的表达式。

仿真计算

• [[角谱法]]的计算涉及到傅里叶变换-求各分量系统传递函数-逆傅里叶变换等三个过程。
  其中，傅里叶变换包括：
  \mathcal{F}\{U_0(x_0, y_0)\}和\mathcal{F}^{-1}\{A_0(f_x, f_y)H(f_x, f_y)\}
  [[傅里叶变换]] 有很多种形式，包括[[FS]]、 [[FT]] 、 [[DFS]]、[[DTFT]] 以及[[DFT]]。 在使用计算机进行仿真时， 在时域和频域都必须转换为离散信号，因此只能使用[[DFT]]来计算，工程上更多得是采用[[Fast DFT]] （即FFT）来进行计算。
  因此，在角谱法计算中，必须涉及输入光场、输出光场以及传递函数的离散化。
• 角谱法计算的关键就是如何准确地将传递函数离散化。
• 傅里叶变换补零问题

  • 输入光场与脉冲响应作线性卷积可以得到输出光场，但是由于[[DFT]]或[[FFT]]等算法中，假设其所计算的信号为周期信号，因此计算出的结果实际上是两个信号的圆周卷积（circular convolution），而不是线性卷积。因此，必须通过补零的方法，使圆周卷积转换为线性卷积，否则输入光场、脉冲响应函数在输出窗口的边缘处的非周期性将会对傅里叶变换的结果引入一定的误差。

  • 假设输入、输出、脉冲卷积在x方向的长度均为N，则只有循环卷积长度>N+N-1，即补零长度达到N-1以上时，循环卷积才不会引入误差。在角谱法仿真中，补零长度通长为N。